本科数学研究生可以上什么？
我来总结下大家的问题吧…… 1.什么是纯数，什么是应数？ 答：这是一个特别伪的概念。所谓的“纯”数和“应”数，其实是人们根据研究对象划分出来的概念，但这两个概念并没有一个明确的边界（就像“物理”和“化学”一样）——也就是说，不存在一个明确的标准，能区分某个研究对象到底是“纯”的还是“应”的。因此这个问题就变成了哲学问题而不是数学问题了。我本来不想多说，但是看到有人拿这个来黑我就不得不说了……
2.数学系到底学什么？ 答：这个问题问得真是时候，因为我刚从欧洲参加完一个大会回来，这次会议的主要议题就是讨论当前数学教育面临的挑战，其中一个很大的话题就是如何在大学里很好地规划学生的math degree（也就是题主所问的“数学本科生应该学些什么”的意思）。 我不敢说我的答案就是最好的，但我尽量把我知道的说一下。 这个问题的核心其实在于要不要加强应用数学在本科阶段的教学。在这个问题上存在两大派别，一个是强调基础理论研究为主的，另一个则是注重与工程、计算机等学科相结合的应用导向的。目前大多数学校是两派各占一半，有的注重搞基础研究，比如中大的数学系（虽然中大不是以基础数学见长的学校）；也有的突出应用，比如北航的数学系（北航是以工科著称的大学）。
我个人认为，本科阶段的数学学习，应该注重挖掘数学的本质，这样学生才能学好一些抽象的数学思想（比如分析、代数、拓扑这些主要学科的思想方法），同时为了配合研究生的深造，也应该教授一些具体的研究领域（主要是偏应用的方向），供他们以后选导师时做参考。至于本科生是不是应该学一些编程，我的意见是否定的——程序的设计和实现是一种非常实用的技能，当然也非常值得提倡，但我认为本科阶段的数学专业学习就已经够使学生忙的了，实在不需要再学另一门本领。
3.学数学有什么出路？ 答：这个问题似乎比上面那个问题更虚……因为我看到了不少拿这个问题来黑数学的人。不过我还是想认真地谈一谈我对这个问题的看法。 首先必须承认，现在的大学教育，尤其是本科教育，确实存在一个问题——就是学生在学校学习的知识和将来他进入社会后所从事的行业往往是不相符甚至是大相径庭的。这个问题不仅仅出现在数学专业，也出现在其他很多专业。这的确是一个需要认真对待的问题。 但我觉得比起这个宏观的问题，可能更需要关注的是微观的问题——也就是每一个具体的个体的差异。为什么同一个专业的同学，毕业几年后从事的工作却截然不同？是因为他们自身不具备找到本专业工作的能力吗？不是，我认为主要原因是在于他们在大学期间并没有找到自己真正感兴趣的领域，而是随大流选择了本科专业。假如他们能更早地认识到自己的兴趣所在，说不定他们可以学得更开心，也更可能从事本行工作。
也许我说的这些有些空，但是我真诚地希望每个选择数学的学生都是因为热爱，而不是因为其他什么原因（比如为了找个好工作）而选择的数学。只要学生是真正喜欢学数学，我相信任何一门知识都不能成为阻碍他们前进的障碍。